第十六章

　　“李青龙写起作业来也和赵晓雅一样进入忘我状态。

不知不觉间，作业写完了。

李青龙抬起头看了看时间，两个小时过去了。

然后又看了看周围的人，只有周彬还在写作业。

另外两个女孩在一旁一边吃水果，一边小声的聊天。

看李青龙抬起头向她们望来。”

陈嘉欣道：哟，你也写完了呀。那只有他一个人没写完了。来做过了，我们一边吃水果，一边小声聊天。别打扰他。

李青龙道：我看时间都11点了。我还是问问他还有多少要写吧。如果实在写不完。就下午写。

陈嘉欣道：好吧，你问问他。

李青龙拍了拍周彬的肩道：你还有多少要写呀？多的话下午再写吧。快要吃饭了。休息一下。

周彬回道：还有三道数学题就写完了。就是有点难，我不知道怎么解。

李青龙道：给我看一下，我来帮帮你。

周彬道：你看。（已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acoswt b.

(1)求函数y=Acoswt b的最小正周期T，振幅A及函数表达式.

(2)依据规定：当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据

(1)的结论，一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.）

李青龙道：这道题的解法是这样的。（（1）由题意可得2T=24，∴T=12=2πω，解得ω=π6，而振幅A=（1.5-0.5）÷2=0.5，

∴y=0.5cosπ6t b，又当t=0时，y=1.5，∴0.5cos0 b=1.5，得b=1，

∴y=0.5cosπ6t 1；

（2）由0.5cosπ6t 1＞1，得cosπ6t＞0，∴2kπ-π2＜π6t＜2kπ π2，

解得12k-3＜t＜12k 3，k∈Z，而8＜t＜20，取k=1，得9＜t＜15，

∴可供冲浪者进行运动的时间为上午9：00时至下午15：00，共6小时．)

周彬道：还有这道你看。（平面坐标系中，A，B坐标为A（-3，0），B（3，0），点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．

（1）求点P的轨迹方程C；

（2）如果过A的一条直线l与C交于M，N两点，且MN=6，求l的方程．）

李青龙道：你看这道题的解法。（（1）由A、B及P的坐标，根据|PA|=2|PB|，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后即可得到C的方程；

（2）由C的方程找出圆心坐标和半径r，再由弦长MN，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，设直线l的斜率为k，由A的坐标与k表示出直线l的方程，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l的方程．

解答：解：（1）∵A（-3，0），B（3，0），点P（x，y）满足|PA|=2|PB|，

∴

(x 3)2 y2=2

(x-3)2 y2，

整理得：（x-5）2 y2=16，

∴点P的轨迹方程C为（x-5）2 y2=16；

（2）∵弦长MN=6，半径r=4，

∴圆心（5，0）到l距离d=

42-(62)2=

7，

设直线l的斜率为k，则有直线l为y=k（x 3）=kx 3k，

∴|8k|

k2 1=

7，

解得：k=±

39957

则直线l的方程为y=±

39957（x 3）．）

此题考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及直线的点斜式方程，熟练掌握定理及公式是解本题的关键。

周彬道：嗯，我知道了，你再看看这道题。（在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

{

x

=

t

y

=

2

t

{x=ty=2 t（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2．

（1）求直线l与圆C的公共点的个数；

（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换

{

x

'

=

x

y

'

=

1

2

y

{x′=xy′=12y得到线段C′，设G（x，y）为曲线C′上一点，求x2 xy 4y2的最大值，并求相应点G的坐标。）

李青龙道：这道题应该这么解。（ （1）直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ2=x2 y2可得曲线C的直角坐标方程，从而可判断直线l与圆C的公共点的个数；

（2）先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后设M（2cosθ，sinθ），则x=2cosθ，y=sinθ代入x2 xy 4y2=1 sin2θ，根据三角函数的性质可求出所求．

解答 解：（1）直线l的参数方程为{x=ty=2 t{x=ty=2 t（t为参数），普通方程为y=2 x，即x-y 2=0．

圆C的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2 y2=4，圆心为（0，0），半径为2，

圆心到直线的距离d=2√222=√22＜2，所以直线l与圆C的公共点的个数为2；

（2）∵曲线C：x2 y2=4经过伸缩变换{x'=xy'=12y{x′=xy′=12y得到曲线C'，

∴C′：x24 y2=1x24 y2=1，

设G（2cosθ，sinθ）则x=2cosθ，y=sinθ，

∴x2 xy 4y2=1 sin2θ，

∴x2 xy 4y2的最大值为2，点G的坐标（√22，√2222）。你懂了吗？

周彬道：懂了，懂了。

李青龙道：懂了就好。休息一下，等我妈做完饭吃完饭后。我们四个人商量一下，下午去那里玩好不好？

周彬道：好。

陈嘉欣道：好。

赵晓雅道：好。

“......”